Sofiatul Af Idah blog's

Selasa, 15 Oktober 2013

MATEMATIKA

Tentukan nilai modus dari data berikut :

Interval

Frekuensi

61 – 65

66 – 70

71 – 75

76 – 80

8

12

18

14

Jawaban :
Frekuensi tertinggi terletak pada kelas interval 71 - 75. hal ini berarti bahwa nilai
$t_{b}=70,5\: ;d_{1}=18-12=6\: ;d_{2}=18-14=4\: ;c=5$
$M_{o}=t_{b}+c\left ( \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right )$
$M_{o}=70,5+5\left ( \frac{6}{6+4} \right )$
$M_{o}=70,5+\frac{30}{10}$
$M_{o}=70,5+3=73,5$
Jadi nilai modusnya $=73,5$

Tentukan simpangan baku data 8, 6, 7, 5, 9, 7
Jawaban :
$\bar{x}=\frac{8+6+7+5+9+7}{6}$
$\bar{x}=\frac{42}{6}=7$
$S^{2}=\frac{(8-7)^{2}+(6-7)^{2}+(7-7)^{2}+(5-7)^{2}+(9-7)^{2}+(7-7)^{2}}{6}$
$S^{2}=\frac{(1)^{2}+(-1)^{2}+(0)^{2}+(-2)^{2}+(2)^{2}+(0)^{2}}{6}$
$S^{2}=\frac{1+1+0+4+4+0}{6}$
$S^{2}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$
simpangan bakunya :
$S=\sqrt{S^{2}}=\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{15}$
Jadi simpangan bakunya :
$S=\frac{1}{3}\sqrt{15}$

Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dibentuk bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda. Tentukan banyak bilangan berbeda yang dapat dibentuk dengan nilai masing-masing lebih dari 300 dan yang habis dibagi 5.
Jawaban :
Bilangan yang terdiri dari tiga angka, artinya bilangan ratusan.
Yang habis dibagi 5, artinya yang dapat menempati angka satuan hanya angka 5 saja atau hanya satu cara saja.
Bilangan lebih dari 300, berarti angka yang bisa menempati angka ratusan hanya angka 3 dan 4 saja karena bilangan 5 sudah menempati pada angka satuan, atau dengan dua cara.
Jadi banyaknya bilangan
$2\: x\: 3\: x\: 1=6$

Hitunglah nilai n dari $P_{2}^{n}=20$
Jawaban :
$P_{2}^{n}=20$
$\frac{n!}{(n-2)!}=20$
$\frac{(n-2)!.(n-1).n}{(n-2)!}=20$
$(n-1).n=20$
$n^{2}-n-20=0$
$\left ( n-5 \right )\left ( n+4 \right )=0$
$\left ( n-5 \right )=0$ atau $\left ( n+4 \right )=0$
$n=5\: \: atau\: \: n=-4$
Jadi nilai $n=5$

Dari 12 orang yang terdiri dari 8 orang wanita dan 4 orang pria akan dibentuk sebuah delegasi yang beranggotakan 5 orang. Berapakah banyak delegasi yang dapat dibentuk jika disyaratkan anggota delegasi terdiri atas 3 orang wanita dan 2 orang pria?
Jawaban :
Banyaknya cara memilih 3 orang wanita dari 8 orang wanita yang tersedia adalah : $C_{3}^{8}$
Banyaknya cara memilih 2 orang pria dari 4 orang pria yang tersedia adalah : $C_{2}^{4}$
Sehingga banyaknya cara memilih 3 orang wanita dan 2 pria =
$C_{3}^{8}\: x\: C_{2}^{4}=\frac{8!}{5!.3!}\: x\: \frac{4!}{2!.2!}$
$=\frac{5!.6.7.8}{5!.1.2.3}\: x\: \frac{2!.3.4}{2!.1.2}\: =7.8.3.2=336$
Jadi delegasi yang dapat dibentuk sebanyak = 336.

Dari $\left ( a+b \right )^{10}$ . Tentukan suku ke-8.
Jawaban :
Rumus suku ke-p adalah :
Jika $\left ( a+b \right )^{n}$ maka suku ke-p dirumuskan :
$U_{p}=C_{p-1}^{n}.a^{n-p+1}.b^{p-1}$
sehingga dari $\left ( a+b \right )^{10}$ , suku ke-8 diperoleh :
$C_{7}^{10}.a^{3}.b^{7}$
$=\frac{10!}{3!.7!}.a^{3}.b^{7}$
$=\frac{7!.8.9.10}{3!.7!}\, a^{3}.b^{7}=4.3.10\, a^{3}.b^{7}=120\, a^{3}.b^{7}$
Jadi suku ke-8 adalah $120\, a^{3}.b^{7}$

Dari hasil pengukuran panjang daun, diperoleh data sebagai berikut :

Panjang Daun(mm)

Frekuensi

10 – 19

20 – 29

30 – 39

40 – 49

50 – 59

6

13

19

15

7

Tentukan nilai modus dari data tersebut!
Jawaban :
Dari tabel dapat kita ketahui bahwa frekuensi terbesar terletak pada interval 30 - 39, sehingga :
$t_{b}=29,5\: ; d_{1}=19-13=6\: ; d_{2}=19-15=4\: ; c=10$
$M_{o}=t_{b}+c\left ( \frac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}} \right )$
$M_{o}=29,5+10\left ( \frac{6}{6+4} \right )$
$M_{o}=29,5+10\left ( \frac{6}{10} \right )$
$M_{o}=29,5+6=35,5$
Jadi nilai Modusnya $=35,5$

Tentukan simpangan baku data 6, 4, 5, 6, 5, 7, 8, 7
Jawaban :
$\bar{x}=\frac{6+4+5+6+5+7+8+7}{8}=\frac{48}{8}=6$
$S^{2}=\frac{(6-6)^{2}+(4-6)^{2}+(5-6)^{2}+(6-6)^{2}+(5-6)^{2}+(7-6)^{2}+(8-6)^{2}+(7-6)^{2}}{8}$
$S^{2}=\frac{(0)^{2}+(-2)^{2}+(-1)^{2}+(0)^{2}+(-1)^{2}+(1)^{2}+(2)^{2}+(1)^{2}}{8}$
$S^{2}=\frac{0+4+1+0+1+1+4+1}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$
Sehingga simpangan bakunya :
$S=\sqrt{S^{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{6}$
Jadi nilai simpangan baku $S=\frac{1}{2}\sqrt{6}$

Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 7 akan dibentuk bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda. Tentukan banyak bilangan berbeda yang dapat dibentuk dengan nilai masing-masing kurang dari 400.
Jawaban :
Tiga angka berarti angka tersebut angka ratusan.
Bilangan ratusan yang kurang dari 400, dari angka-angka tersebut yang memenuhi hanya angka 1, 2 dan 3 atau 3 bilangan, Jadi banyaknya angka berbeda yang dapat dibentuk adalah :
$3 \: x\: 4\: x\: 3\: =\: 36$ bilangan

Tentukan nilai n dari $C_{2}^{n}=15$
Jawaban :
$\frac{n!}{(n-2)!.2!}=15$
$\frac{(n-2)!.(n-1).n}{(n-2)!.1.2}=15$
$(n-1).n=30$
$n^{2}-n-30=0$
$(n-6)(n+5)=0$
$n=6$ atau $n=-5$
Jadi nilai n adalah $n=6$

Sebuah kotak berisi 6 bola biru dan 3 bola kuning. Dari kotak tersebut akan diambil 5 bola secara acak. Berapa banyaknya cara pengambilan jika yang terambil adalah 3 bola biru dan 2 bola kuning?
Jawaban :
Banyaknya cara mengambil 3 bola biru dari 6 bola biru adalah $C_{3}^{6}$
Banyaknya cara mengambil 2 bola kuning dari 3 bola kuning adalah $C_{2}^{3}$
Jadi banyaknya cara mengambil 3 bola biru dan 2 bola kuning adalah
$C_{3}^{6}.C_{2}^{3}=\frac{6!}{3!.3!}x\frac{3!}{1!.2!}=\frac{3!.4.5.6}{3!.1.2.3}x\frac{2!.3}{1.2!}$
$=4.5.3 =60$ cara

Dari $\left ( a+b \right )^{9}$ . Tentukan suku ke-6
Jawaban :
Jika $\left ( a+b \right )^{n}$ maka suku ke-p dirumuskan $C_{p-1}^{n}.a^{n-p+1}.b^{p-1}$
sehingga, untuk $n=9$ dan $p=6$ diperoleh
$C_{6-1}^{9}.a^{9-6+1}.b^{6-1}=C_{5}^{9}.a^{4}.b^{5}=\frac{9!}{4!.5!}a^{4}.b^{5}$
$=\frac{5!.6.7.8.9}{5!.1.2.3.4}.a^{4}.b^{5}$
$=126a^{4}b^{5}$
Jadi suku ke-6 adalah $=126a^{4}b^{5}$

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)